על הדיוק

הדיוק הוא מעלה מוערכת, בשירה כמו גם במדע, אך ראוי לתהות על קנקנו וחשיבותו, במיוחד בקרב המדעים המתהדרים בשמו. התדמית המקובלת של המדעים המדויקים מעוותת משהו, אולי כתוצאה משמם הלא הולם, או אולי משימוש שגוי או חוסר הבנה של המילה "דיוק". אנסה כאן מעט יותר לדייק בטיב הדיוק שבמדעים המדויקים, ואשתדל לא לגלוש יותר מדי (אם כי הפיתוי גדול), לשלל הסוגיות הפילוסופיות שמתגלעות על טיבה של המתמטיקה ויחסה אל המציאות.
נתחיל, אם כן, בעובדות. המדעים המדויקים, הפיזיקה, הכימיה וההנדסה על תחומיה השונים, מזוהים כאלהslide0036_image030.jpg המשתמשים בשירותיה של המתמטיקה, ושהסוגיות בהן הם עוסקים ניתנות לייצוג מתמטי, כלומר הן בעיות כמותיות. המהנדס שואל: "בכמה בטון עליי להשתמש כדי שהגשר לא ייקרוס תחתיו?" או "כמה ארוכות צריכות להיות כנפי המטוס ומה תצורתן כדי שהמטוס יוכל לעוף?" האסטרופיזיקאי יכול לשאול: "מה צריכה להיות מסתו של כוכב על מנת שיקרוס לכדי חור שחור?" וכן הלאה והלאה, הבנתם את העניין. השאלות הן כמותיות, והן יכולות להיות חשובות, לא חשובות, יומיומיות, או שהן יכולות לעסוק בישויות תיאורטיות בשולי היקום. בכל מקרה, המתמטיקה צריכה לענות.
נקפוץ מיד לתשובה
: האם המתמטיקה אכן מספקת תשובות מדויקות לחלוטין לכל אותן שאלות? ונשיב מיד: למעשה, כמעט אף פעם לא.
לפני שנדון בתשובה, הבה נתעכב רגע קל ונבין את השאלה.
המתמטיקאי, שמקבל את הבעיה מן המדען או המהנדס, מקבל אותה בצורה של יחסים מתמטיים שנובעים מתוך מודל של הבעיה בעולם. (כמובן שאין בהכרח הפרדה בעולם האמיתי בין מדענים למתמטיקאים, אבל לצורך פשטות הדיון, נתייחס לזה כך). נניח, לצורך הדיון, שהמודל שהמתמטיקאי מקבל מן המדען הוא ללא רבב. כמובן שזה לא חייב להיות נכון, המדע מאז ומעולם משנה ומשפר את המודלים שלו אודות העולם, אבל נניח שהמודל של המדען שלנו נכון, והבעיה כעת נחה על כתפי המתמטיקאי, שנדרש לקחת את המודל ולפתור אותו, כלומר לחזות כיצד הוא יתנהג, או לספק ערך נדרש, של משקל בטון, או אורך כנפיים.
נחזור, אם כן, לתשובה. המודל שהוגש למתמטיקאי חייב להיות מורכב מאי אלו משוואות, שהן יחסים מתמטיים בין גדלים. העובדה היא שהמתמטיקה לא יודעת לפתור באופן מדויק כמעט את כל המשוואות האפשריות.
מפתיע? העובדה שרובנו, שלא ביקרו באחורי הקלעים המתמטיים של עולמנו המודרני, לא מודעים לכך. רוב הבעיות המספריות שאנו נתקלים בהם (כמו ספירת עצמים, או חישוב העודף הנכון בחנות), עוסקות במספרים טבעיים (או שלמים, אם לוקחים בחשבון גם את השליליים), או רציונאליים (שברים של מספרים טבעיים) ושם אכן יש פתרונות מדויקים. זה מוזר שקוראים להם מספרים טבעיים, מכיוון שהם נוטים להופיע בעיקר במערכות אנושיות (זכרו שהמערכת המוניטארית היא מערכת מלאכותית), אך נעלמים חיש מהר כשאנו מנסים לפתור בעיות בטבע עצמו. חפשו בביתכם את המחשבון המדעי שאולי נשאר לכם מתקופת לימודי התיכון. הקלידו מספר כלשהו, ולחצו על פונקצית הסינוס או הטנגנס. אתם זוכרים בודאי את הזנב הארוך הזה של המספרים אחרי הנקודה העשרונית, שהמורה אמר שמספיק לרשום רק אחד מהם. ובכן, אתם מחזיקים חזק? הזנב הארוך הזה הוא לא רק ארוך יותר ממה שהמסך מציג, הוא אינסופי באמת! כמובן שהמחשבון לא טורח לחשב את שאר המספרים, וחוזר ללולאות הריקניות שלו לאחר שהוא מציג את המספרים.
מה קורה כאן? התשובה היא שרוב הסיכויים שהפתרון שקיבלתם היה מספר אי-רציונאלי. מספרים אי רציונאלים הם כל החברים שנחים בין המספרים הטבעיים והרציונאלים. דמיינו לכם סרגל בעל שנתות זעירות. אתם יכולים לדמיין שנתות של מספרים טבעיים, וכל חלוקה ביניהם (לחצי, רבע, שמינית, וכן הלאה) תיתן מספר רציונאלי. אבל כך לעולם לא תכסו את כל השנתות האפשריות על הסרגל. בין השנתות הללו תמיד ינוחו עוד ועוד שנתות שאי אפשר יהיה להגיע אליהם על ידי חלוקות כאלה, ואלו הם המספרים האי רציונאליים, שיחד עם חבריהם הרציונאליים מהווים את קבוצת המספרים הממשיים. לכן, הבעיה שלנו היא בעיקר בעיה של ייצוג.
כשהמתמטיקאי שלנו חוזר עם תשובה לאותו מהנדס או מדען (ואל תקלו ראש באותו חישוב קוסינוס שאמרו לנו שלא צריך אותו בשביל "ללכת למכולת", הוא יכול להיות הזווית הנדרשת ליציבותו של גשר או כנפיו של מטוס), עליו לייצג את התשובה בצורה שימושית, כלומר בצורה של מספרים שניתנים להבנה ולשימוש. במקרה שלנו, המחשבון לא הציג את המספר הממשי המדויק, אלא מספר רציונאלי, בצורה של שבר עשרוני ש"קרוב לו". כמובן שאפשר לבנות מערכת ייצוג חדשה, שתיקח בחשבון את הערכים שלא ניתנים לייצוג במערכת הישנה. למשל, את היחס בין היקף המעגל לקוטרו אפשר פשוט לסמן באות היוונית פאי, ולא להסתבך עם ניסיון נואש לתרגם את היחס הנ"ל לשפה של מספרים רציונאליים. אך כמובן, זהו לא יקדם אותנו בהרבה. זה כאילו משורר היה מגדיר את הסימן
X בתור כל מה שהוא רוצה להביע, ויקרא לזה אומנות. זה יכול לעורר הדים על התעוזה המקורית, ואולי אפילו למצוא הערכה בקרב אלה שיראו בדבר אמירה אודות מגבלות השפה הלירית עצמה, אבל זה יימאס מהר מאוד, ואי אפשר יהיה להפיק מזה הרבה לאורך זמן. הבעיה לא נפתרת כך, אלא רק מסתבכת, משום שיצירה כזו לא יכולה להתכתב עם שום יצירה אחרת, במיוחד אם היצירות האחרות יחלו להמציא לעצמן שפות משלהן מתוך עצלות, וכדי שלשירה, כמו למדע, יהיה ערך תרבותי ומעשי, היא חייבת לחיות בחלל שמאפשר תקשורת, ועל ידי כך, צמיחה וחיים. לרוב המספרים הממשיים (היינו, אלה שאינם רציונאלים) אין "שפה" משותפת פשוטה ביניהם. דמיינו לכם שהמערכת המוניטארית שלנו הייתה מתבססת על מספרים אי רציונאלים שונים דוגמת π או e – לעולם לא נוכל לקבל עודף מדויק בשום מקום! (אלא אם כן נשמש במטבעות קטנים של אפסילון "קטן כרצוננו"…אבל זו כבר הלצה למתקדמים). אז כאמור, המחשבון מתרגם לנו ערך ממשי לביטוי רציונלי שהוא לא רק בר ייצוג, אלא שהוא חבר בחבורה שאנחנו מכירים היטב, ויודעים כיצד לטפל בה.
איך המחשבון עושה זאת? למעשה, המחשבון לא יודע לחשב פונקצית סינוס, למשל, במדויק (למעשה, אף אחד לא יודע). מה שהוא עושה זה מסכם טורים אינסופיים שמקרבים את פונקצית הסינוס. הטור הוא אוסף של חישובים, שכל אחד מהם משפר את הדיוק של התוצאה. המחשבון לא חייב לחשב את כל אותם אינסוף חשבונות (זה כמובן היה לוקח לו זמן אינסופי, כמו הזמן שלאכילס היה לוקח לעקוף את הצב…), אלא רק את אלה שדרושים לו כדי לדייק עד כדי גודל המסך שלו (למשל, שש או שבע מקומות אחרי הנקודה). שיטה זו לא הומצאה עבור מחשבים, למעשה היא פותחהעוד בתחילת המאה השמונה עשרה, על ידי אנגלי בשם ברוק טיילור.ברוק טיילור

אך רק רגע, אתם אומרים, היכן כאן הדיוק? המהנדס או המדען רצו תשובה מוסמכת, שתוודא שהמטוס אכן לא יתרסק ושהגשר לא יקרוס. מי יערוב להם עתה שהם יכולים לתת הוראות בלב שלם למפעל היצור? ובכן, צריך לזכור שבכל מקרה יש גבול גם לדיוק המעשי. גם אולמות הייצור של המטוס או המאזניים שישקלו את כמות הבטון שנוצק לתוך הגשר הם בעלי דיוק סופי. כל בעל מלאכה יודע שגם כשמזמינים רהיט או בונים מטבח, מקבלים מידות עד כדי דיוק של ס"מ או מ"מ, למשל, וכך בכל תעשייה בכל תחום. תשובה מדויקת לחלוטין, אם כן, אינה אפשרית אך גם אינה נדרשת. נאמר פעם שעל מנת להנחית אדם על הירח, מספיק היה להשתמש בערך הפאי שחושב כבר בתקופת הפרעונים, של השבר הרציונאלי 22/7. אז איפה הדיוק? אחת הגדולות של המתמטיקה, בשבתה כפותרת בעיות מעשיות, לפחות, היא ביכולת להעריך את הדיוק של הפתרונות שלה במדויק. שימו לב: התשובה הניתנת היא מקורבת אך תחום השגיאה יכול להיות מחושב במדויק.
זהו אם כן הדיוק שבמדעים המדויקים. הם אינם מדויקים אך יכולים להעריך בדיוק עד כמה הם אינם מדויקים, וזה חשוב מאוד, מסתבר.
מעניין לראות שהמתמטיקאים מתחבטים בבעיות דומות לאלו של משוררים: בעיות של ביטוי וייצוג של אמיתות. כמו המשוררים, גם הם מתמודדים עם הבעיה בדרך עקיפה, במקום שהמשוררים חגים סביב האמת באמצעות מטאפורה ודימוי, מפתחים המתמטיקאים שיטות של קירוב ומציאת מקבילות ברות חישוב ובנות הצגה לאניגמות של הקוסמוס.
כמובן שנגענו רק בקצה קצהו של הנושא. בעיית הייצוג של מספרים ממשיים אי-רציונאליים היא רק ההתחלהאחד הקירובים של פאי על ידי טור אינסופי. כל איבר קטן מקודמו ומוסיף תיקון קטן שניתן להעריל את גודלו של הבעיה. למעשה רוב המשוואות (למשל משוואות הזרימה, שפתרונן חיוני בתכנון כלי טיס מודרניים) כלל אינן ניתנות לפתרון אנאליטי בעצמן, לפני שבכלל מדברים על ייצוג הפתרון, ועוד לא דיברנו על הבעיות באי שלמותו של המודל, באוסף ההנחות וההפשטות שהן מנת חלקה של כל בעיה מדעית או הנדסית, אבל אני מקווה שהעיקרון התחיל להיות ברור. והעניין מסתבך עוד יותר! כשאנו מתחילים לדון במערכות מורכבות, פיתרון מקורב אינו מספק. תהליכים פיזיקאליים רבים (זה יכול להיות משהו גדול כמו האטמוספרה של כדור הארץ, שממנה גוזרים את תחזיות מזג האוויר, אך גם פשוט להפליא כמו מטוטלת כפולה), מתאפיינים בהתנהגות כזו, שלא מסתפקת בפתרונות מקורבים. למה הכוונה? נניח שאני רוצה לחשב מסלול של אבן הנופלת כלפי הקרקע, יתכן שלא אוכל לחשב בדיוק מוחלט את המסלול והמהירות שלה, אבל אוכל להגיד באופן כללי, בוודאות גדולה, שהאבן תיפול למטה ולא למעלה. ובכן, במערכות מורכבות, זה לא המצב. מודלים של חיזוי מזג האוויר שמנסים לחזות את התנהגות המערכת האטמוספרית מעבר לכמה ימים קדימה, מספקים תוצאות הפוכות למה שבאמת מתרחש, כלומר גשם במקום שמש, או רוח בכיוון ההפוך לחלוטין. נסו לבדוק את מזג האוויר במקומות שונים בעולם מעבר לשלושה ימים קדימה באתרי אינטרנט שונים ותגלו דעות למכביר.
מה המסקנה אם כן? המדענים והמהנדסים שלנו אינם אלים, והמלחמה שלהם בבלתי נודע היא אומנות שראויה להערצה. העובדה שבנינו את האימפריה הטכנולוגית שלנו בתוך הכאוס הזה היא פלא בל יתואר, והסוד טמון בהגדרה נכונה של מושגים, אך גם בחופש לשנות אותם ולהתעלות מעליהם כשצריך. ראוי להבין כיצד האנושות התקדמה בשלבי הסולם למרות שבשום נקודה לא הייתה לה אחיזה מושלמת בשלביו. כל גנרל בשדה הקרב יודע שבסופו של דבר צריך להסתער, ואי אפשר לחכות לדו"ח המודיעין המדויק או לאחרון החיילים המתברברים. צריך להתייחס למדע ולשכל בכבוד, אך גם להכיר במגבלותיהם. הם כלים ומכשירים, לא אורים ותומים.
לגבי בעיית הייצוג, מי האנשים שהתאבדו בגללה, ומהי המשוואה שמוכיחה את קיומו של האל – באחת הרשומות הבאות!

מודעות פרסומת

5 תגובות to “על הדיוק”

  1. מרגוליס Says:

    נהניתי.

    וזה חלק מההסבר למה המדע, למרות מה שכמה מדענים רוצים לחשוב, לעולם לא יוכל להגיע לתיאוריה הסופית. מודל מלא שיתאר את המציאות חייב לשבת על המציאות בקנה מידה של 1:1. זאת מפה שרק אלוהים יכול לצייר. (רגע, הוא כבר צייר אותה, לא?).

  2. של ברמן Says:

    תודה.
    כנראה שאתה צודק. אני חושב שהמטרה של המדע היא לא להגיע ל"אמת סופית", בדיוק כשם שהמטרה של השירה היא לא למצוא איזה "שיר מושלם אחד". למעשה, המחשבה שמשהו במדע הוא "אמת סופית" מזיקה למדע עצמו.

  3. מרגוליס Says:

    ספר את זה למדענים, אני לא בטוח שהם מסכימים. נראה לי שכמה מהויכוחים היותר סוערים (סוערים, שוין) בבלוג אצלי היו בדיוק על זה.

  4. יוסריאן Says:

    makes you wonder…
    אם כך, המספרים ישארו לעולם בגדר רעיונות מופשטים שאין להם נגיעה ממשית ואמיתית למציאות.
    אין בנמצא קילומטר, ליטר או קילוגרם אחד אמיתי (ומדויק) לרפואה,
    וכל תיאוריה מתימטית תהיה לעולם מעשית אך רק בתוך רוחב הפס של הרזולוציה האנושית.

    מוזר…
    מעניין מה יש למתמטיקאים לומר בנושא 🙄

  5. של ברמן Says:

    כל מה שכתבתי ידוע כמובן למתמטיקאים. כמובן שלא כולם מתעמקים במשמעויות הפילוסופיות של העניין.

להשאיר תגובה

הזינו את פרטיכם בטופס, או לחצו על אחד מהאייקונים כדי להשתמש בחשבון קיים:

הלוגו של WordPress.com

אתה מגיב באמצעות חשבון WordPress.com שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת Twitter

אתה מגיב באמצעות חשבון Twitter שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת Facebook

אתה מגיב באמצעות חשבון Facebook שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת גוגל פלוס

אתה מגיב באמצעות חשבון Google+ שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

מתחבר ל-%s


%d בלוגרים אהבו את זה: